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異なるベルヌーイ分布から得られた標本平均の比較(1)

異なるベルヌーイ分布から得られた2つの標本平均に, 統計的に差があると言えるかどうか.

判断基準を「それぞれの標本平均の標準偏差 σ を求め, それぞれの標本平均から ±ασ (α>0) の範囲をとった時, 互いの範囲が重なるかどうか」とした時, ちょうど判断ができる時点を考える.

目的

|μ1μ2|=αμ1(1μ1)n+αμ2(1μ2)m

上式を μ2 について解く.

前提

式(1)の性質を調べたい. ここでは, 互いの範囲がちょうど重なる場合の, それぞれの標本平均の値の関係を調べる.

それぞれの標本サイズを n, m, 標本平均を μ1, μ2 とおくと, 標準偏差は μ1(1μ1)n, μ2(1μ2)m と書ける.

互いの範囲の端がちょうど一致する場合, (1)式が成り立つ.

μ1>μ2 の場合

μ1μ2=αμ1(1μ1)n+αμ2(1μ2)mμ2+(μ1αμ1(1μ1)n)=αμ2(1μ2)m

両辺を2乗して整理する.

(μ2)22μ2(μ1αμ1(1μ1)n)+(μ1αμ1(1μ1)n)2=α2μ2(1μ2)m

(1+α2m)μ22{2(μ1αμ1(1μ1)n)+α2m}μ2+(μ1αμ1(1μ1)n)2=0

μ2 についての2次方程式が得られたので, あとは上式を解けばよい.

μ1<μ2 の場合

μ2μ1=αμ1(1μ1)n+αμ2(1μ2)m

同様にして計算すると,

(1+α2m)μ22{2(μ1+αμ1(1μ1)n)+α2m}μ2+(μ1+αμ1(1μ1)n)2=0

を得る.