異なるベルヌーイ分布から得られた2つの標本平均に, 統計的に差があると言えるかどうか.

判断基準を「それぞれの標本平均の標準偏差 \(\sigma\) を求め, それぞれの標本平均から \(\pm\alpha\sigma\,~(\alpha > 0)\) の範囲をとった時, 互いの範囲が重なるかどうか」とした時, ちょうど判断ができる時点を考える.

目的

\[
\left|\mu_{1}-\mu_{2}\right| = \alpha\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}} + \alpha\sqrt{\frac{\mu_{2}(1-\mu_{2})}{m}} \tag{1}
\]

上式を \(\mu_{2}\) について解く.

前提

式(1)の性質を調べたい. ここでは, 互いの範囲がちょうど重なる場合の, それぞれの標本平均の値の関係を調べる.

それぞれの標本サイズを \(n,~ m\), 標本平均を \(\mu_{1},~ \mu_{2}\) とおくと, 標準偏差は \(\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}},~ \sqrt{\frac{\mu_{2}(1-\mu_{2})}{m}}\) と書ける.

互いの範囲の端がちょうど一致する場合, (1)式が成り立つ.

・ \(\mu_{1} > \mu_{2}\) の場合

\[
\begin{eqnarray}
\mu_{1}-\mu_{2} & = & \alpha\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}} + \alpha\sqrt{\frac{\mu_{2}(1-\mu_{2})}{m}} \\
-\mu_{2} + \left(\mu_{1} – \alpha\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}}\right) & = & \alpha\sqrt{\frac{\mu_{2}(1-\mu_{2})}{m}}
\end{eqnarray}
\]

両辺を2乗して整理する.

\[
\left(-\mu_{2}\right)^{2} – 2\mu_{2}\left( \mu_{1} – \alpha\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}} \right) + \left( \mu_{1} – \alpha\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}} \right)^{2} = \alpha^{2}\frac{\mu_{2}(1-\mu_{2})}{m}
\]

\[
\left( 1+\frac{\alpha^{2}}{m} \right)\mu_{2}^{2} – \left\{ 2\left( \mu_{1} – \alpha\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}} \right) + \frac{\alpha^{2}}{m} \right\} \mu_{2} + \left( \mu_{1} – \alpha\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}} \right)^{2} = 0
\]

\( \mu_{2} \) についての2次方程式が得られたので, あとは上式を解けばよい.

・ \(\mu_{1} < \mu_{2}\) の場合

\[
\mu_{2}-\mu_{1} = \alpha\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}} + \alpha\sqrt{\frac{\mu_{2}(1-\mu_{2})}{m}}
\]

同様にして計算すると,

\[
\left( 1+\frac{\alpha^{2}}{m} \right)\mu_{2}^{2} – \left\{ 2\left( \mu_{1} + \alpha\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}} \right) + \frac{\alpha^{2}}{m} \right\} \mu_{2} + \left( \mu_{1} + \alpha\sqrt{\frac{\mu_{1}(1-\mu_{1})}{n}} \right)^{2} = 0
\]

を得る.