異なるベルヌーイ分布から得られた2つの標本平均に, 統計的に差があると言えるかどうか.

判断基準を「それぞれの標本平均に差がないという帰無仮説を棄却できるかどうか」とした時, ちょうど判断ができる(できない)時点を考える.

目的

\[
z = \frac{\left|\mu_{1}-\mu_{2}\right|}{\sqrt{\mu(1-\mu)\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right)}} ~~~ \mathrm{where} ~~~ \mu = \frac{\mu_{1}m+\mu_{2}n}{n+m} \tag{1}
\]

上式を \(\mu_{2}\) について解く.

前提

それぞれの標本サイズを \(n,~ m\), 標本平均を \(\mu_{1},~ \mu_{2}\) とする.

比率の差についての検定を考えて, 帰無仮説 \( \mu_{1} = \mu_{2} \) をおく. 帰無仮説が棄却できるかどうかの判断の境界で (1)式が成り立つ.

・ \(\mu_{1} > \mu_{2}\) の場合

\[
\mu_{1}-\mu_{2} = z\sqrt{\mu(1-\mu)\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right)}
\]

両辺を2乗して整理する.

\[
\begin{eqnarray}
\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)^{2} & = & z^{2}\mu(1-\mu)\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right) \\
& = & z^{2} \left(\frac{\mu_{1}m+\mu_{2}n}{n+m}\right) \left(1-\frac{\mu_{1}m+\mu_{2}n}{n+m}\right) \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right) \\
& = & z^{2} \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right) \left\{\frac{\mu_{1}m+\mu_{2}n}{n+m}-\left(\frac{\mu_{1}m+\mu_{2}n}{n+m}\right)^{2}\right\} \\
& = & z^{2} \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right) \frac{1}{n+m} \left\{ \mu_{1}m+\mu_{2}n -\frac{1}{n+m}\left(\mu_{1}^{2}m^{2}+2\mu_{1}\mu_{2}nm+\mu_{2}^{2}n^{2}\right) \right\} \\
& = & z^{2} \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right) \frac{1}{n+m} \left\{ -\frac{n^{2}}{n+m}\mu_{2}^{2} + \left(n-\frac{2\mu_{1}nm}{n+m}\right)\mu_{2} + \mu_{1}m – \frac{1}{n+m}\mu_{1}^{2}m^{2} \right\}
\end{eqnarray}
\]

\[
\mu_{2}^{2} – 2\mu_{1}\mu_{2} + \mu_{1}^{2} = z^{2} \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right) \frac{1}{n+m} \left\{ -\frac{n^{2}}{n+m}\mu_{2}^{2} + \left(n-\frac{2\mu_{1}nm}{n+m}\right)\mu_{2} + \mu_{1}m – \frac{1}{n+m}\mu_{1}^{2}m^{2} \right\}
\]

\[
\left(1 + z^{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right) \left(\frac{n}{n+m}\right)^{2}\right)\mu_{2}^{2} – \left(2\mu_{1} + z^{2} \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right) \frac{n-\frac{2\mu_{1}nm}{n+m}}{n+m} \right)\mu_{2} + \mu_{1}^{2} – z^{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right)\frac{1}{n+m}\left( \mu_{1}m – \frac{1}{n+m}\mu_{1}^{2}m^{2} \right) = 0
\]

\( \mu_{2} \) についての2次方程式が得られたので, あとは上式を解けばよい.

・ \(\mu_{1} < \mu_{2}\) の場合

略.

関連

異なるベルヌーイ分布から得られた標本平均の比較(1)